MATRIKS

NAMA : ALFREDO HUTABARAT

NIM : 202031039

FAKULTAS : TELEMATIKA ENERGI

PRODI : TEKNIK INFORMATIKA

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan real(kompleks) berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung, ditulis dengan:

Istilah - Istilah matriks:

Lambang matriks digunakan huruf besar A,B,C
Elemen matriks digunakan lambang huruf kecil, a,b,c ...
Bagian datar disebut baris dan tegak disebut kolom
Indeks-l menyatakan baris dan j menyatakan kolom
Jumlah baris=m, jumlah kolom=n disebut dengan ukuran (mxn) atau matriks berordo (mxn)
Ukuran matriks disebut ordo

Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemen selain diagonal utama bernilai nol. Contoh gambar sederhananya:

Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. contoh gambar sederhananya:

Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas merupakan matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh gambar:

Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga bawah merupakan matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Contoh gambar:

Transpose Matriks

Transpose Matriks atau Matriks Transpose adalah suatu matriks yang dikerjakan pertukaran antara dimensi kolom dan baris.Contoh:

Matriks Simetris

Matriks Simetris yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan menghasilkan matriks semula. Misalkan

A

adalah matriks persegi. Matriks A dikatakan simetris jika dan hanya jika

A=A^T

. Contoh gambar:

OPERASI ARITMATIK MATRIKS

Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks adalah operasi penjumlahan dua matriks dengan menjumlahkan komponen-komponennya yang seletak. Dua matriks dapat dijumlahkan jika jumlah baris dan kolomnya sama. Matriks hasil penjumlahannya juga akan memiliki ordo yang sama. Contoh gambar:

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks adalah perkalian yang melibatkan suatu matriks atau susunan bilangan berupa kolom dan angka serta memiliki sifat tertentu. Contoh gambar:

DETERMINAN MATRIKS

Determinan matriks $A$ ditulis dengan sebuah tanda, yaitu: $det(A)$ , $det A$ , atau |A|. Determinan bisa dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.

Apabila matriksnya berbentuk 2 × 2, maka rumus untuk mencari determinan ialah:

{\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}

Apabila matriksnya berbentuk 3 \times 3 matrix A, maka rumusnya adalah:

{\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}

Metode Sarrus

Metode sarrus atau juga sering orang menyebutnya metode anyaman (Basketweave Method) adalah jalan alternatif dalam menghitung determinan dari matriks

3\times 3

Perhatikan contoh soal berikut ini:

Metode Ekspansi Laplace

Metode Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.

contoh cara menghitung determinan (A) dengan ekspansi kofaktor (Ordo 4×4)

Ekspansi kofaktor baris

Metode Chio

Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo $n \times n$ dengan $n \geq 3$ .
Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo $n \times n$ menjadi ordo $(n-1) \times (n-1)$ dan dikalikan dengan elemen $a_{11}$ . Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo $2 \times 2$ . Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen $a_{11} \neq 0$ . Apabila nilai elemen $a_{11} = 0$ maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh $a_{11} \neq 0$ .

Perhatikan untuk matrik dengan ordo $3 \times 3$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

Selanjutnya untuk matrik dengan ordo $4 \times 4$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi $n \times n$ , maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{n-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{2n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{31} & a_{3n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{n1} & a_{n2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{n1} & a_{n3} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{n1} & a_{nn} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

Contoh soal dengan ordo 3x3

Contoh soal dengan ordo 4x4

Metode Crout

Mendekomposisi suatu matriks untuk memperoleh elemendiagonal utama matriks segitiga atas (U) bernilai satu dan elemen lainnya bernilaibebas.

Untuk L = matriks segitiga atas, sedangkan U = segitiga bawah.

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan Metode Crout:

Rumus untuk mencari ordo 3x3

Contoh soal ordo 3x3

Rumus untuk mencari ordo 4x4

Contoh soal ordo 4x4

Metode Doolittle

Metode doolittle merupakan sebuah algoritma faktorisasi LU yang mensyaratkan elemen- elemen pada diagonal utama.

Untuk L = Segitiga bawah, dan untuk U = Segitiga atas.

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan Metode Doolittle:

Rumus untuk mencari ordo 3x3

Contoh soal ordo 3x3

Rumus untuk mencari ordo 4x4

Contoh soal ordo 4x4

Invers matriks

Invers matriks adalah sebuah kebalikan (invers) dari kedua matriks di mana apabila matriks tersebut dikalikan menghasilkan matriks persegi (AB = BA = I).

Contoh AB=BA=I

Metode Adjoin Matriks

Adjoin matriks merupakan tranpose dari matriks kofaktor. Adjoin sering disingkat dengan Adj. Misalkan matriks A, maka adjoin A ditulis Adj (A). Tranpose sendiri maksudnya adalah pertukaran elemen pada baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Adjoin matriks digunakan dalam menentukan invers matriks.

contoh ordo 3x3

A = $\large \begin{bmatrix} 4 & 12 &-13 \\ 8& 16 &-19 \\ 4 &8 & -10 \end{bmatrix}$

$\large A^{-1}=\frac{1}{Det A}Adj A \\ A^{-1}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 4 & 12 &-13 \\ 8& 16 &-19 \\ 4 &8 & -10 \end{bmatrix} \\ A^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{4}{4} & \frac{12}{4} &\frac{-13}{4} \\ \frac{8}{4}& \frac{16}{4} &\frac{-19}{4} \\ \frac{4}{4} &\frac{8}{4} & \frac{-10}{4} \end{bmatrix} \\ A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 3 &\frac{-13}{4} \\ 2& 4 &\frac{-19}{4} \\ 1 &2 & \frac{-5}{2} \end{bmatrix}$

ordo 4x4

Ekspansi baris -1 :

det(a)=M11-2M12+3M13-4M1

=-10 – 2(5) + 3(9) – 4(2)= –1

Ekspansi baris-2 :

det(A)=-2M21+3M22-5M23+5M24

=-2(-6) –3(4) + 5(-6) –5(-1)= –1

Ekspansi baris-3 :

det(A)=3M31-5M32+7M33-4M34

=3(-8) –5(3) + 7(6) –4(1)= –1

Ekspansi baris-4 :

det(A)=-3M41+6M42-8M43+6M44

=-3(-7) +6(2) - 8(5) + 6(1)= –1

Metode Operasi Baris Elementer(OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) adalah salah satu alternatif dalam menyelesaikan suatu bentuk matriks seperti menentukan invers matriks.

contoh 3x3

contoh ordo 4x4

Metode Perkalian Matriks Elementer (OBE)

Matriks elementer adalah matriks yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matriks identitas.

contoh ordo 3x3

contoh ordo 4x4

Metode Partisi Matriks

Partisi matrik adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan invers matriks.

Contoh soal

Metode Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini dinamai dari matematikawan Carl Friedrich Gauss(1777–1855), walaupun metode ini sudah dikenal oleh matematikawan Tionghoa semenjak tahun 179 M.

Terdapat tiga jenis operasi yang dapat dilakukan dalam metode ini:

1. Mengganti urutan dua baris

2. Mengalikan baris dengan angka yang bukan nol

3. Menambah suatu baris dengan baris yang lainnya

Dengan cara ini, matriks dapat diubah menjadi matriks segitiga atas.

Contoh soal

Tentukan nilai $a,b,c,d$ yang memenuhi sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode eleminasi Gauss.

$\begin{equation*} \begin{split} a + 2b + c + 2d &= 2\\ 2a - b + c + d &= 0\\ 3a + 2b - c + d &= 1\\ a + b + c - d &= 9. \end{split} \end{equation*}$

Penyelesaian :

Matriks perluasan dari SPL di atas adalah

$\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & | & 2\\ 2 & -1 & 1 & 1 & | & 0\\ 3 & 2 & 2 & -1 & | & 1\\ 1 & 1 & 1 & -1 & | & 9 \end{bmatrix}. \end{equation*}$

Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode eleminasi Gauss.

$\begin{equation*} \begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & | & 2\\ 2 & -1 & 1 & 1 & | & 0\\ 3 & 2 & 2 & -1 & | & 1\\ 1 & 1 & 1 & -1 & | & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{b_{2}-2b_{1}, b_{3}-3b_{1}, b_{4}-b_{1}} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & -5 & -1 & -3 & \mid & -4\\ 0 & -4 & -4 & -5 & \mid & -5\\ 0 & -1 & 0 & -3 & \mid & 7 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{2}\times (-1), b_{3}\times (-1), b_{4}\times (-1)} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 5 & 1 & 3 & \mid & 4\\ 0 & 4 & 4 & 5 & \mid & 5\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{2} \leftrightarrow b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7\\ 0 & 4 & 4 & 5 & \mid & 5\\ 0 & 5 & 1 & 3 & \mid & 4 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}-4b_{2}, b_{4}-5b_{2}}&\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7\\ 0 & 0 & 4 & -7 & \mid & 33\\ 0 & 0 & 1 & -12 & \mid & 39 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}\leftrightarrow b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7\\ 0 & 0 & 1 & -12 & \mid & 39\\ 0 & 0 & 4 & -7 & \mid & 33 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{4}\leftrightarrow 4b_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7\\ 0 & 0 & 1 & -12 & \mid & 39\\ 0 & 0 & 0 & -41 & \mid & 123 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{4}\times \displaystyle \frac {-1}{41}} &\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 3 & \mid & -7\\ 0 & 0 & 1 & -12 & \mid & 39\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & -3 \end{bmatrix}\\ \end{split} \end{equation*}$

Diperoleh sistem persamaan baru

$\begin{equation*} \begin{split} a+2b+c+2d&=2\\ ~~~~~~~b~~~~~~~+3d&=-7\\ ~~~~~~~~~~c-12d&=39\\ ~~~~~~~~~~~~~~d&=-3. \end{split} \end{equation*}$

Dengan mensubstitusikan nilai $d=-3$ ke persamaan ke-2 dan ke-3,

diperoleh nilai $b=2$ dan $c=3$ .

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan nilai $b=2, c=3$ dan $d=-3$ ke persamaan ke-1,

diperoleh nilai $a=1$ .

Jadi penyelesian dari SPL

$\begin{equation*} \begin{split} a + 2b + c + 2d &= 2\\ 2a - b + c + d &= 0\\ 3a + 2b - c + d &= 1\\ a + b + c - d &= 9. \end{split} \end{equation*}$

adalah $a=1, b=2, c=3$ dan $d=-3$ .

Metode Eliminasi Gauss Jordan

Metode ini pengembangan dari metode eliminasi gauss. Dimana tujuan kita membuat matriks identitas bukan lagi segitiga atas sehingga tidak diperlukan lagi subtitusi balik untuk mencari nilai dari akar persamaan.

Contoh Soal

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut.

$\begin{equation*} \begin{split} a-4b+2c+3d&=2\\ 2a+b+3c-d&=0\\ 4a+b+2c-3d&=1\\ 3a-4b-2c+2d&=8 \end{split} \end{equation*}$

Dengan menggunakan metode eleminasi Gauss-Jordan, tentukan penyelesaian sistem persamaan linear di atas.

Penyelesaian :

Matrik perluasan dari SPL di atas adalah

$\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & | & 2\\ 2 & 1 & 3 & -1 & | & 0\\ 4 & 1 & 2 & -3 & | & 1\\ 3 & -4 & -2 & 2 & | & 8 \end{bmatrix} \end{equation*}$

Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode operasi Gauss-Jordan.

$\begin{equation*} \begin{split} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & | & 2\\ 2 & 1 & 3 & -1 & | & 0\\ 4 & 1 & 2 & -3 & | & 1\\ 3 & -4 & -2 & 2 & | & 8 \end{bmatrix}\xrightarrow{b_{2}-2b_{1}, b_{3}-4b_{1}, b_{4}-3b_{1}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 9 & -1 & -7 & \mid & -4\\ 0 & 17 & -6 & -15 & \mid & -7\\ 0 & 8 & -8 & -7 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{2}-b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 17 & -6 & -15 & \mid & -7\\ 0 & 8 & -8 & -7 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}-17b_{2},b_{4}-8b_{2}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & -125 & -15 & \mid & 95\\ 0 & 0 & -64 & -7 & \mid & -50 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}+2b_{4}}&\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 3 & -1 & \mid & -5\\ 0 & 0 & -64 & -7 & \mid & -50 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{4}+21b_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 3 & -1 & \mid & -5\\ 0 & 0 & -1 & -28 & \mid & -55 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}\leftrightarrow b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & -1 & -28 & \mid & -55\\ 0 & 0 & 3 & -1 & \mid & -5 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{4}+3b_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & -1 & -28 & \mid & -55\\ 0 & 0 & 0 & -85 & \mid & -170 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}x (-1), b_{4}: (-85)} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 1 & 28 & \mid & 55\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}-28b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \end{split} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{split} \hspace{2cm}\xrightarrow{b_{2}-7b_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \hspace{2cm}\xrightarrow{b_{1}+4b_{2}-2b_{3}-3b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \end{split} \end{equation*}$

Jadi penyelesaian SPL di atas adalah $a=2, b=1, c=-1, d=2$

Metode Crammer

Metode Crammer merupakan formula yang dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan determinan dari matriks yang terbentuk dari koefisien dan konstanta masing-masing persamaan di sistem tersebut.

Contoh soal

Diketahui :

-2x + 3y -z = -4

4x - y + 4z = 8

2x + 4y + 16

Tentukan nilai variabel dari SPL 3 variabel diatas dengan menggunakan metode cramer !

Penyelesaian :

Tahap Pertama

mengubah persamaan linear diatas kedalam sebuah matriks

Tahap Kedua

Mencari determinan dari matriks A

Tahap Ketiga

Mencari nilai dari variabel x

Tahap Keempat
Mencari nilai dari variabel y

Tahap Kelima
Mencari nilai variabel z

Maka dengan ini sudah dapat kita ketahui bawa nilai dari variabel x = 8,8, y = 8 dan z = -2,4 .

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai Eigen ( $\lambda$ ) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara Vektor Eigen (

x

) adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.

Contoh Soal Matriks 3x3

Diagonalisasi

Suatu matriks bujursangkar A dikatakan diagonalizable

• Jika ada matriks P yang dapat diinvers sehingga P -1AP =D adalah matriks diagonal

• Matriks P dikatakan mendiagonalkan ( diagonalize) A.

Jika A n´n maka:

• A dapat didiagonalkan. • A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.

Suatu matriks Anxn dengan n vektor eigen yang bebas linier dapat didiagonalkan dengan langkah sbb:

• Step 1. Cari n vektor eigen yang bebas secara linier dari A, yaitu p1 , p2 , …, pn .

• Step 2. Bentuk matriks P yang mempunyai p1 , p2 , …, pn sebagai vektor-vektor kolomnya.

• Step 3. Matriks P -1AP akan menjadi matriks diagonal dengan l1 , l2 , …, ln sebagai anggota diagonalnya dimana li adalah nilai eigen yang berpadanan dengan pi , untuk i = 1, 2, …, n.

contoh soal :

Langkah-langkah Mencari D

Tentukan P-1 , yaitu dengan mencari determinan dari P dan adjoin P.
Setelah itu baru cari D = P-1 AP

Diagonalisasi Ortogonal

Diketahui suatu matriks A, nxn, dan suatu matriks ortogonal P sedemikian sehingga :

P -1AP = PTAP=D

maka A disebut dapat didiagonalkan secara ortogonal dan P disebut mendiagonalkan A secara ortogonal.

Setiap matriks simetris dapat didiagonalkan secara ortogonal.

Jika A adalah matriks n´n maka pernyataan berikut ekuivalen:

• A dapat didiagonalkan secara ortogonal.

• A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal.

• A simetris. AT = (PDPT) T=PDTP T = PDPT = A Jika A adalah suatu matriks simetris, maka: – Nilai eigen dari A semuanya bilangan real. – Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal.

Prosedur mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks simetris:

• Step 1. Cari basis untuk setiap ruang eigen dari A.

• Step 2. Terapkan proses Gramm Schmidt pada setiap basis-basis ini untuk mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.

• Step 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang disusun pada step-2, matriks ini mendiagonalkan A secara ortogonal.

Contoh soal :

Jangan lupa cek juga video saya mengenai pembahasan soal matriks dengan metode metode diatas. Berikut adalah linknya:

1. https://youtu.be/WRiVvSyWpzo

2. https://youtu.be/VagDIi2g9ns

3. https://youtu.be/oq17RvbhbpQ

4. https://youtu.be/cOj1IQ6bn98

5. https://youtu.be/tVC54UYHYgs

6. https://youtu.be/kkAGVbAAGz8

7. https://youtu.be/d04NhyxemlQ

8. https://youtu.be/LdVCJ7HQVGY

Cari Blog Ini

Tugas Kuliah IT-PLN

MATRIKS

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

TEKNIK DIGITAL

KALKULUS