KALKULUS

 Rabu, 10 Maret 2021

1. Sistem Bilangan Real

    Sistem bilangan real ( diberi lambang R ) adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma lapangan, urutan dan kelengkapan.

• Suatu aksioma adalah basis dari sistem logika formal yang bersama-sama dengan aturan inferensi mendefinisikan logika. 
• Kata aksioma dalam matematika juga disebut postulat yaitu suatu titik awal dari sistem logika.
• Misalnya, 1+1=2
• Melalui dua titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus

    Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan dan sifat– sifatnya, berikut adalah skema sistem bilangan

    Sebarang bilangan rasional dan irrasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal bilangan rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang dalam daur ulang yang tetap selamanya, sedangkan pernyataan desimal bilangan irrasional tidak berulang menurut suatu daur.

    Penyusunan sistem bilangan real, mendasari sistem bilangan dengan sifat–sifat sebagai berikut: Untuk x, y, dan z bilangan real.

1. Sifat komutatif. x + y = y + x dan xy = yx

2. Sifat asosiatif. x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z

3. Sifat distributif. x(y + z) = xy + xz

4. Elemen identitas. Terdapat dua bilangan real yang berlainan, 0 dan 1, yang memenuhi x + 0 = x dan x . 1 = x.

5. Balikan (invers). Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan (negatif), –x, yang memenuhi x + –x = 0. Juga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian (kebalikan), x–1 , yang memenuhi x . x–1 = 1.

    Bilangan–bilangan real tak nol dapat dipisahkan menjadi dua himpunan terpisah, yaitu Bilangan–bilangan real positif dan bilangan–bilangan real negatif sehingga mempunyai sifat–sifat urutan yaitu ; Untuk x, y dan z bilangan real.

1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan–bilangan, maka pasti satu di antara yang berikut berlaku: x < y atau x = y atau x > y

2. Ketransitifan x < y dan y < z Þ x < z

3. Penambahan. x < y Û x + z < y + z

4. Perkalian. Bilamana z positif, x < y Û xz < yz. Bilamana z negatif, x < y Û xz > yz.

    Bilangan rasional dan irrasional keduanya padat sepanjang garis real, sehingga setiap bilangan mempunyai tetangga rasional dan irrasional yang cukup dekat dengannya. Salah satu manifestasi dari sifat kepadatan tersebut adalah sebarang bilangan irrasional dapat dihampiri (») oleh suatu bilangan rasional sedekat yang disukai.

Senin, 22 Maret 2021

2. Pertidaksamaan Linear

      Pertidaksamaan linear tersusun dari dua kata yaitu “pertidaksamaan” dan “linear”. Pertidaksamaan adalah bentuk/kalimat matematis, memuat tanda lebih dari “ > “, kurang dari “ < “, lebih dari atau sama dengan “ ≥ “, dan kurang dari atau sama dengan “ ≤ “. Nah kalau linear itu punya arti suatu bentuk aljabar dengan variabel pangkat tertingginya adalah satu. 

Sifat Pertidaksamaan Linear

• Sebuah pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya apabila kedua ruasnya ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan yang sama.
• Sebuah pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya apabila kedua ruasnya dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.

Contoh :

Minggu, 28 Maret 2021

3. Fungsi

    Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi f dari A ke B adalah aturan yang menghubungkan setiap angota A dengan tepat satu anggota B.

"x , x Î A, jika x = x , maka f x = f

    Notasinya adalah f : A →B, dibaca: f memetakan A ke B. A disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan). Jelajah (range/jangkauan) adalah himpunan semua nilai hasil pemetaan (bagian dari kodomain).

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Sifat-Sifat Fungsi

1. Fungsi Injektif (satu-satu atau Into)

f : A→B adalah fungsi injektif jika dan hanya jika

contoh:

2. Fungsi Surjektif (pada atau onto)

f : A→B adalah fungsi surjektif jika dan hanya jika

Contoh:

3. Fungsi Bijektif

f : A→B adalah fungsi bijektif jika dan hanya jika f adalah fungsi injektif dan surjektif

Contoh:

f : R→R dengan f(x) = x-1 karena f adalah fungsi injektif dan surjektif

4. Fungsi Ganjil

f : A→B adalah fungsi ganjil jika dan hanya jika  f(-a)= -f(a) untuk setiap a.

contoh:

f(x) = x - sin x adalah fungsi ganjil, karena

f(-a) = (-a) - (sin (-a)) = -a + sin a = - (a - sin a) = -f(a)

5. Fungsi Genap

 f : A→B adalah fungsi ganjil jika dan hanya jika f(-a) = f(a) untuk setiap a.

contoh:

f(x) = x^2 + cos x adalah fungsi genap, karena

f(-a) = (-a)^2 + cos (-a) = a + cos a = f(a)

Kamis, 01 April 2021

4. Grafik Fungsi Kuadrat

    Fungsi kuadrat y= ax^2 + bx + c dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.

    Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi f(x) = x^2 - 2x - 3 adalah:

 

Jumat, 09 April 2021

5. Limit Fungsi

    Limit merupakan sebuah konsep matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

1. Metode Substitusi

    Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai  kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”.

2. Metode Pemfaktoran

    Apabila hasil substitusi langsung diperoleh nilai bentuk tak tentu, maka kita harus memfaktorkannya sehingga bentuknya menjadi bukan bentuk tak tentu, kemudian kita lanjutkan menggunakan strategi substitusi langsung sehingga diperoleh hasilnya.

6. Limit Fungsi Tak Hingga

a.  Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk x yang terus membesar menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit L untuk x mendekati ∞ dan ditulis L xf  )(lim x = ∞→  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan L). 

b.  Jika nilai suatu fungsi f terus membesar untuk x  menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→  )(lim x xf  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞). 

c.  Jika nilai suatu fungsi f terus mengecil untuk x  menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ − untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→ -  )(lim x xf  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞ − ).

 Contoh soal : 

Sabtu, 24 April 2021

7. Limit Bilangan Euler

    Bilangan Euler (Euler’s Number) adalah salah satu konstanta matematis berupa bilanan irasional dengan nilai 2,7182….. yang dinamai dari matematikawan Leonhard Euler. Selanjutnya dikenal sebagai bilangan euler dan dinotasikan dengan huruf e. Bilangan ini merupakan konstanta penting dalam bidang kalkulus.

Barisan bilangan dapat dianggap sebagai fungsi dengan domain bilangan asli. Misalkan diberikan fungsi

dengan n bilangan asli.

Contoh Soal :

8. Limit Trigonometri

    Trigonometri (Trigonometry) adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan panjang sisi dan besar sudut dalam suatu segitiga. Enam istilah yang identik dalam trigonometri adalah sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen. 

Rumus Limit Trigonometri

    Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri untuk x mendekati suatu bilangan c bisa secara mudah didapat dengan melakukan substitusi nilai c pada fungsi trigonometrinya. Persamaan rumus limit fungsi trigonometri seperti pada gambar di bawah ini :

Rumus Limit Fungsi Trigonometri untuk x –> c :

Limit Fungsi Trigonometri untuk x Mendekati 0 (Nol)

    Dalam pembahasan ini, ada berbagai rumus yang bida disebut sebagai “properti” untuk menyelesaikan soal – soal limit trigonometri. Kumpulan properti tersebut bisa dilihat pada daftar rumus limit trigonometri yang diberikan di bawah ini

Rumus Limit Fungsi Trigonometri untuk x –> 0 :

 

Contoh soal:

Rabu, 02 Juni 2021

9. Kontinuitas

    Kata kontinu adalah berkesinambungan; berkelanjutan; dan terus menerus. Jadi fungsi "f" dikatakan kontinu di "a" jika tidak ada gangguan di grafik fungsi f di titik x=a.

Syarat Kontinu :

Jika terpenuhi, maka dikatakan kontinu.

Jika tidak terpenuhi, maka dikatakan diskontinu.

Contoh Soal :

Senin, 14 Juni 2021

10. Limit Bentuk Tak Tentu

    Dalam kalkulus dan cabang lain analisis matematika, batasan yang melibatkan kombinasi aljabar fungsi dalam variabel independen sering kali dapat dievaluasi dengan mengganti fungsi; jika ekspresi yang diperoleh setelah substitusi ini tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan batas aslinya, maka dikatakan menganggap file Bentuk tak tentu. Lebih khusus lagi, bentuk tak tentu adalah ekspresi matematika yang melibatkan nilai ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ dan ${\displaystyle \infty }$, diperoleh dengan menerapkan teorema limit aljabar dalam proses mencoba menentukan nilai limit, which gagal untuk membatasi nilai limit tersebut pada satu nilai tertentu dan dengan demikian belum menentukan nilai limit tersebut. Istilah ini awalnya diperkenalkan oleh murid Cauchy Moigno di pertengahan abad ke-19.

Ada tujuh bentuk tak tentu yang biasanya dipertimbangkan dalam literatur :

Dalam Aturan L'Hôpital

    Aturan L'Hôpital adalah metode umum untuk mengevaluasi bentuk tak tentu ${\displaystyle 0/0}$ dan ${\displaystyle \infty /\infty }$. Aturan ini menyatakan bahwa (dalam kondisi yang sesuai)

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

darimana ${\displaystyle f'}$ dan ${\displaystyle g'}$ adalah turunan dari ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$. (Perhatikan bahwa aturan ini tidak berlaku untuk ekspresi ${\displaystyle \infty /0}$, ${\displaystyle 1/0}$, dan seterusnya, karena ekspresi ini bukanlah bentuk tak tentu.) Turunan ini akan memungkinkan seseorang untuk melakukan penyederhanaan aljabar dan akhirnya mengevaluasi limit.

Aturan L'Hôpital juga dapat diterapkan ke bentuk tak tentu lainnya, pertama menggunakan transformasi aljabar yang sesuai. Misalnya untuk mengevaluasi formulir 0⁰:

Contoh Soal Bentuk Tak Tentu (0/0)

Kamis, 24 Juni 2021

11. Diferensial/Turunan Fungsi

    Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan   atau    atau y’ dan didefinisikan sebagai:

Contoh soal:

Aturan Rantai

    Apabila y = f(u), dengan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan pada x, maka turunan y terhadap x bisa dinyatakan dalam bentuk:

Dari konsep aturan rantai di atas, maka  untuk y = un, akan didapatkan:

Secara umum bisa dinyatakan seperti berikut ini:

Apabila  f(x) = [u(x)]n dengan u(x) merupakan fungsi yang bisa diturunkan pada x, maka:

f'(x) = n[u(x)]n-1 . u'(x)

Contoh soal

1.     Tentukan turunan pertama dari y = (3x − 3)3.

Pembahasan :

     y’ = n [f(x)]n-1. f ‘(x)

⇒ y’ = 3 (3x − 3)2. 3

⇒ y’ = 9 (3x − 3)2.

2.     Jika y = (x2− 3)5 dan y’ adalah turunan pertama y, maka tentukanlah nilai dari y'(2).

Pembahasan :

    y’ = n [f(x)]n-1. f ‘(x)

⇒ y’ = 5 (x2 − 3)4. (2x)

⇒ y’ = 10x (x2 − 3)4

⇒ y'(2) = 10(2). (22 − 3)4

⇒ y'(2) = 20 (1)4

⇒ y'(2) = 20.

Kamis, 1 Juli 2021

12. Turunan Fungsi Implisit

    Implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.

    Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx). Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y).

Contoh Soal :

Minggu, 04 Juli 2021

13. Aplikasi Turunan : Nilai Maksimum dan Minimum

    Dalam matematika, maksimum dan minimum adalah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi, baik dalam kisaran tertentu (ekstrem lokal atau relatif) atau di seluruh domain dari fungsi (ekstrem global atau absolut). Dalam masalah praktis sehari-hari nilai maksimum dan minimum sering muncul dan membutuhkan suatu cara penyelesaian. Misalnya seorang pengusaha atau pemilik pabrik tentunya ingin meminimumkan biaya produksi dan memaksimumkan laba. 

    Contoh ini menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum lokal suatu fungsi belum tentu menjadi maksimum dan minimum global. Bila interval definisi fungsi ada, kita harus memeriksa pula nilai-nilai fungsi di ujung interval.

    Apakah kalian mengetahui bagaimana cara menentukan titik maksimum atau minumum suatu fungsi dengan menggunakan konsep turunan?

    Dilansir dari Differential Equations (2010) oleh Vasishtha dan Sharma, persamaan turunan merupakan persamaan yang berisi variabel dependen dan independen serta turunan yang berbeda dari variabel dependen. Menurut Differential Equations (2006) oleh Hari Kishan, solusi dari persamaan turunan adalah hubungan fungsional antara variabel yang terlibat, yang memenuhi persamaan tersebut. Salah satu aplikasi dari konsep turunan adalah menentukan titik maksimum atau minimum suatu fungsi.

    Suatu fungsi akan mencapai optimal (maksimum atau minimum) jika gradiennya sama dengan nol (m = 0). Karena gradien sama dengan turunan pertama dari fungsi tersebut maka turunan pertama dari fungsi sama dengan nol (f'(x) = 0).

Titik tersebut dinyatakan dengan titik stasioner. Beberapa sifat dari turunan pertama dan kedua suatu fungsi pada x1 dapat kita nyatakan sebagai berikut:

• f'(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik stasioner (kritis).
• f'(x1) = 0 dan f''(x1)>0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik minimum.
• f'(x1) = 0 dan f''(x1)<0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik maksimum.
• f''(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok.

Contoh Soal :

Rabu, 07 Juli 2021

14. Titik Stasioner

   Dalam ilmu matematika (khususnya dalam bidang kalkulus), titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi yang dapat diturunkan adalah suatu titik di dalam grafik dengan turunan kurva pertama yang sama dengan nol. Dalam kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun.

Titik stasioner fungsi riil ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ bernilai ${\displaystyle C^{1}}$ dapat digolongkan menjadi empat berdasarkan uji turunan pertama:

• Minimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari negatif menjadi positif;
• Maksimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari positif menjadi negatif
• Titik belok yang naik adalah titik ketika turunan fungsi bernilai positif di kedua sisi titik stasioner
• Titik belok yang turun adalah titik ketika turunan fungsi bernilai negatif di kedua sisi titik stasioner;

    Pilihan pertama dan kedua disebut "ekstrema lokal". Sementara itu, titik yang merupakan maksimum atau minimum global/absolut disebut ekstremum global/absolut. Dua pilihan terakhir yang bukan merupakan ekstremum lokal disebut titik sadel.

    Penentuan posisi dan sifat titik stasioner membantu proses penggambaran kurva fungsi yang dapat diturunkan. Penyelesaian persamaan f'(x) = 0 menghasilkan koordinat x semua titik stasioner; koordinat y adalah nilai fungsi di koordinat x tersebut. Sifat suatu titik stasioner di x dapat ditentukan dengan melihat turunan kedua f''(x):

• Jika f''(x) < 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum maksimum
• Jika f''(x) > 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum minimum
• Jika f''(x) = 0, sifat titik stasioner harus ditentukan dengan cara lain

Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari nilai fungsi di antara titik stasioner (jika fungsi didefinisikan dan tidak terputus).

Contoh Soal:

Jangan lupa cek juga video saya mengenai pembahasan soal kalkulus dengan materi diatas. Berikut adalah linknya:

1.        https://youtu.be/J4Yr-h8EZR8
2.         https://youtu.be/vtUH0zCWZuo
3.         https://youtu.be/-hrAU9Ideq8
4.         https://youtu.be/nir-N39BDKw
5.         https://youtu.be/S3HlJr1At5w
6.         https://youtu.be/3kNAq7YEX14
7.         https://youtu.be/w8UHHusoeWY
8.         https://youtu.be/BOTz_BWNALQ
9.         https://youtu.be/fyR75vBpwfM
10.        https://youtu.be/B-yCcC_l5vU
11.        https://youtu.be/69iswEcxYkM
12.        https://youtu.be/fqrbYTiu-nI